FISMOD

05/23/2012

0 Comments

 
BAB I

PENDAHULUAN

I.I Latar Belakang

Erwin Schrodinger (1887 – 1961, warga Australia). Walaupun ia tidak sepaham dengan tafsiran probabilistik yang kemudian di terapkan pada pekerjaannya, ia berjasa dalam mengembangkan teori matematik mekanika gelombang yang untuk pertama kalinya memungkinkan dihitungnya perilaku gelombang dari berbagai system fisis. Tehnik – tehnik matematika kuantum, secara formal sama seperti yang digunakan untuk menganalisis gelombang klasik. Pemecahan berbagai persoalan mekanika kuantum, seperti bagi sebuah partikel yang bergeraknya terbatas dalam suatu bagian ruang dua dimensi, sering kali tampak mirip dengan pemecahan yang lazim kita jumpai bagi persoalan gelombang klasik, seperti getaran permukaan dua dimensi. Bila keadaan awal sebuah partikel dalam suatu lingkungan klasik (tidak relativistik tidak kuantum) diketahui, maka dengan menggunakan hukum Newton, perilaku selanjutnya dapat di ramalkan dengan kepastian mutlak berdasarkan hukum Newton. Bila kedudukan awal xo dan kecepatan vo sebuah partikel yang berada dalam suatu medan gaya F tertentu, yang diturunkan dari suatu potensial V, diketahui, maka dengan memecahkan persamaan matematika hukum kedua Newton, F = dp/dt (suatu persamaan diferensial linear, orde kedua), kita dapat memperoleh x(t) untuk seluruh waktu t sesudahnya. Persoalan matematikanya sangat sulit, sehingga bentuk pemecahannya dalam bentuk analitis tidak dapat di peroleh (dalam hal ini, pemecahan hampiran numeric dapat di peroleh dengan bantuan computer); namun demikian, ini hanyalah kesulitan matematika belaka, fisikanya di sini adalah penulisan persamaan F =  dp/dt dan penafsiran hasil pemecahannya, yakni x(t) dan v(t). sebagai contoh dapat di perlihatkan bahwa lintasan sebuah satelit atau planet yang bergerak di bawah pengaruh gaya gravitasi, setelah melakukan manipulasi matematika yang cukup panjang, berbentuk elips. Begitu pula, medan listrik dan medan magnet yang berkaitan dengan sebarang distribusi muatan dan arus dapat di peroleh dengan memecahkan suatu sistem persamaan diferensial parsial orde pertama, yang di kenal sebagai persamaan Maxwel. Fisika dari persoalan ini, seperti pada kasus hukum Newton, adalah menuliskan persamaan dan menafsirkan pemecahannya, sedangkan kegiatan memperoleh pemecahannya adalah permasalahan manipulasi matematika belaka. Dalam kasus fisika kuantum tak Relativistik, persamaan utama yang harus di pecahkan adalah suatu persamaan diferensial parsial orde kedua, yang di kenalnya adalah persamaan Schrodinger. Seperti dengan halnya hukum Newton, kita juga mencari pemecahannya bagi suatu gaya tertentu, namun disini kita akan lebih menaruh perhatian pada potensialnya ketimbang gayanya. Berbeda dari hukum Newton, pemecahan persamaa Schrodinger, yang di sebut fungsi gelombang, memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel.    

BAB II

Pembahasan

5.1 Pembenaran persamaan Schrodinge

            Baik hukum Newton, persamaan Maxwell, maupun Schrodinger tidak dapat di turunkan dari seperangkat asas dasar, namun pemecahan yang di peroleh darinya ternyata sesuai dengan pengamatan percobaan. Persamaan Schrodinger hanya dapat di pecahkan secara eksak untuk beberapa potensial sederhana tertentu, yang paling sederhana adalah potensial konstan dan potensial osilator harmonik. Kedua kasus  sederhana ini memang tidak”fisis”, dalam artian bahwa pemecahannya tidak dapat diperiksa kebenarannya dengan percobaan tidak ada contoh di alam yang berkaitan dengangerak sebuah kotak satu dimensi, ataupun sebuah osilator harmonik mekanika kuantum ideal (meskipun kasus seperti ini sering kali merupakan hampiran yang cukup baik bagi situasi fisis yang sebenarnya). Namun demikian, berbagai kasus sederhana ini cukup bermanfaat dalam memberikan gambaran tentang teknik umum pemecahan persamaan Schrodinger. Kita bayangkan sejenak kita adalah Erwin Schrodinger dan sedang meneliti suatu persamaan diferensial yang akan menghasilkan pemecahan yang sesuai bagi fisik kuantum. Akan kita dapati bahwa kita dihalangi oleh tidak adanya hasil percobaan yang dapat kita gunakan sebagai bahan perbandingan. Oleh karena itu, kita harus merasa puas dengan hal berikut, kita daftarkan semua sifat yang kita perkirakan akan dimiliki persamaan kita, dan kemudian menguji macam persamaan manakah yang memenuhi semua kriteria  tersebut.

1.    Kita tidak boleh melanggar hukum kekekalan energi. Meskipun kita hendak mengorbankan sebagai besar kerangka fisika klasik, hukum kekekalan energi adalah salah satu asas yang kita inginkan tetap berlaku. Oleh karena itu kita mengambil

K + V = E       …………………………………(5.1)

            Berturut – turut,K, V, dan E adalah energy kinetik, potensial, total. (karena kajian kita tentang fisika kuantum ini di batasi pada keadaan takrelativistik, maka K =  m v2 = p2/2m, E hanyalah menyatakan jumlah energi kinetik dan potensial, bukan energi massa relativistik).

2.    Bentuk persamaan diferensial apa pun yang kita tulis, haruslah taat asas terhadap hipotesis de Broglie, jika kita pecahkan persamaan matematikanya bagi sebuah partikel dengan momentum p, maka pemecahan yang kita dapati haruslah berbentuk sebuah fungsi gelombang dengan panjang gelombang λ yang sama dengan h/p.

3.    Persamaannya haruslah “berprilaku baik”, dalam pengertian matematika. Kita mengharapkan pemecahannya memberikan informasi kepada kita tentang probabilitas untuk menemukan partikelnya, kita akan terperanjat menemukan bahwa, misalnya probabilitas tersebut berubah secara tidak kontinu, karena ini berarti bahwa partikelnya menghilang secara tiba-tiba dari satu titik dan muncul kembali pada titik lainnya. Jadi syaratkan bahwa fungsinya  haruslah bernilai tunggal.gelombang tali, yang memiliki bentuk matematika y (x,t) = A sin (kx – ωt), dan gelombang elektromagnetik, yang memiliki bentuk serupa E(x,t)  = E0 sin (kx – ωt) dan B(x, t) = B0 sin (kx – ωt). Oleh karena itu kita postulatkan bahwa gelombang deBroglie partikel bebas ψ(x.t), memiliki bentuk matematika yang serupa dengan A sin (kx – ωt), yaitu bentuk dasar sebauh gelombang dengan amplitude A yang merambat dalam arah  x positif. Memiliki panjang gelombang λ = 2𝜋/ k dan frekuensi v = ω/2𝜋. Kita akan mengabaikan ketergantungannya pada waktu, katakanlah t = 0. Jadi, dengan mendefinisikan ψ(x) = Asin kx…………….(5.2) persamaan diferensial, yang pemecahannya adalah ψ(x.t), dapat mengandung turunan terhadap x atau t, tetapi ia harus bergantung pada pangkat satu dari ψ dan turunan- turunannya sehingga suku seperti ψ2 atau (dψ/dt)2 tidak boleh muncul. (ini sebagai akibat dari anggapan kita tentang sifat linear dan bernilai tunggal dari persamaan dan penecahannya). Persamaan kita harus mengandung potensial V, jika V yang muncul berpangkat satu, maka agar taat asas dengan kekekalan energi (V + K = E), K harus pula muncul dalam bentuk pangkat satu. K = h2 k2/2m, sehingga satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang mengandung k2 adalah dengan mengambil turunan kedua dari ψ(x) = A sin kx terhadap x.

 = - k2 ψ = -  Kψ = -  (E – V ) ψ

-         + vψ = Eψ ……………………(5.3)

           Perlu di tekankan bahwa yang kita lakukan di sini bukanlah suatu penurunan, kita hanya sekedar membentuk suatu persamaan diferensial dengan ketiga sifat  berikut : (1) ia taat asas dengan kekekalan energi, (2) ia linear dan bernilai tunggal , (3) ia memberikan pemecahan partikel bebas sesuai dengan sebuah gelombang deBroglie tunggal .

persamaan (5.3) yang sesuai dengan hasil- hasil percobaan dalam berbagai situasi fisis. persamaan (5.3) adalah persamaan Schrodinger waktu- bebas satu dimensi.

 
 
Start blogging by creating a new post. You can edit or delete me by clicking under the comments. You can also customize your sidebar by dragging in elements from the top bar.